二叉树
1 重点概念
1.1 结点概念
结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。
1.2 树结点声明
本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如：结点A在图中表示为：
2 树
2.1 定义
**树（Tree）**是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：
图2.1为一棵普通的树：
图2.1 普通树
由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是十分了解，建议先看看递归算法
2.2 结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
图2.2中标注了图2.1所示树的各个结点的度。
2.3 结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图2.2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图2.2中，结点B与结点C互为兄弟结点。
2.4 结点层次
从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
图2.3表示了图2.1所示树的层次关系
2.5 树的深度
树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图2.1所示树的深度为4。
3 二叉树
3.1 定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
3.2 二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
3.3 二叉树性质
1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
3.5 满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
3.6 完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图3.5展示一棵完全二叉树
特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
平衡二叉树（AVL）树
在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树
为什么要有平衡二叉树 二叉搜索树一定程度上可以提高搜索效率，但是当原序列有序时，例如序列 A = {1，2，3，4，5，6}，构造二叉搜索树如图 1.1。依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率降低为 O(n)。
在此二叉搜索树中查找元素 6 需要查找 6 次。
可以看出当节点数目一定，保持树的左右两端保持平衡，树的查找效率最高。
这种左右子树的高度相差不超过 1 的树为平衡二叉树。
哈夫曼树
路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。图 1 中，从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。
路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。
结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。例如，图 1 中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。
结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如，图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。例如图 1 中所示的这颗树的带权路径长度为：
WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3
若以{4,5,6,7,8}作为叶子结点的权值构造哈夫曼树，则其带权路径长度是（）。
3.7 二叉树的存储结构
3.7.2 二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图3.11所示：
3.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。
3.8.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种：
前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历
3.8.2 前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图3.13所示二叉树访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A;
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；
按照同样规则，输出D，输出H；
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；
向E左子树，故输出J；
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
则3.13所示二叉树的前序遍历输出为：
ABDHIEJCFG
3.8.3 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图3.13所示二叉树中序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则3.13所示二叉树的中序遍历输出为：
HDIBJEAFCG
3.8.4 后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图3.13所示二叉树后序访问如下：
从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
则图3.13所示二叉树的后序遍历输出为：
HIDJEBFGCA
虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
递归实现代码如下：
/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
PreOrderTraverse(T->lchild); /*再先序遍历左子树*/
PreOrderTraverse(T->rchild); /*最后先序遍历右子树*/
}
/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}
/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /*先后序遍历左子树*/
PostOrderTraverse(T->rchild); /*再后续遍历右子树*/
printf("%c", T->data); /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
}
3.8.5 层次遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图3.13所示二叉树的层次遍历结果为：
ABCDEFGHIJ
层次遍历的详细方法可以参考二叉树的按层遍历法。
3.8.6 遍历常考考点
对于二叉树的遍历有一类典型题型。
1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。
分析：前序遍历第一个输出结点为根结点，故A为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点A的左子树中结点有CB，右子树中结点有EDF。